최단경로
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최단경로알고리즘2023. 1. 27. 16:15@gani+
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최단경로

특정 지점까지 가장 빠르게 도다아는 방법을 찾는 알고리즘

최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현한다.

최단 거리 알고리즘은 다익스트라 ,플로이드 워셜,벨만 포드 알고리즘 등이 있다.

이 중에서 다익스트라 최단 경로와 플로이드 워셜 알고리즘이 코딩 테스트에서 가장 많이 등장하는 유형이다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘

그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. ‘가장 비용이 적은 노드’를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘 원리

  1. 출발 노드를 설정한다.
  2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
  5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복

간단한 다익스트라 알고리즘 소스코드

from operator import truediv
import readline
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)
#노드의 개수,간선의 개수를 입력받기
n,m = map(int,input().split())
#시작 노드 번호 입력 받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance=[INF]*(n+1)
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c, = map(int,input().split())
    #a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))

#방문하지 않은 노드 중에서 , 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0  #가장 최단 거리가 짧은 노드 (인덱스)
    for i in range(1,n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start) :
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    #시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        #현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        #현재 노드와 연결되 ㄴ다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

dijkstra(start)

for i in range(1,n+1):
    #도달할 수 없는 경우, 무한(INFINTY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else :
        print(distance[i])

#입력
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

처음에 코드만 보고 이해를 못했는데, 하나하나 그림그려가면서 해보니까 이해가 됐다.

 

ㅋㅋㅋㅋㅋ,ㅋ, 초라한 나의 그림판,,,ㅎㅎ

간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V²)이다. 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결되 노드를 매번 일일이 확인하기 때문이다

따라서 전체 노드의 개수가 5000개 이하면 일반적으로 이 코드로 문제를 풀 수 있지만 , 노드의 개수가 10000개를 넘어가면 이 코드로는 문제를 해결하기 어렵다.

힙

우선순위 큐

: 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다

  • 우선순위 큐는 데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용한다
  • 우선순위 큐 라이브러리는 heqpq를 선호
  • 우선순위 값을 표현할 때는 일반적으로 정수형 자료형의 변수가 사용
  • 우선순위 큐에 데이터 묶음을 넣는데, 첫번째 원소를 우선순위로,두번째가 데이터로 들어간다
  • 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙 혹은 최대 힙을 이용한다.
  • 최소 힙을 이용하면 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제, 최대 힙을 이용하면 값이 큰 데이터가 먼저 삭제된다
  • 파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용한느데, 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합하다
  • 최소힙을 최대힙처럼 사용하기 위해서 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수부호를 붙여서 넣을 수도 있다.

우선순위 큐 구현 방식

우선순위 큐 구현 방식 삽입 시간 삭제 시간

리스트 O(1) O(N)
힙 O(logN) O(logN)

개선된 다익스트라 알고리즘

  • 앞의 다익스트라 알고리즘에서 get_smallest_noe()라는 함수를 사용하지 않고 우선순위 큐를 이용하여 더 빠르게 동작한다.
import heapq
from operator import truediv
import readline
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)
#노드의 개수,간선의 개수를 입력받기
n,m = map(int,input().split())
#시작 노드 번호 입력 받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance=[INF]*(n+1)
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c, = map(int,input().split())
    #a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start) :
    q=[]
    heapq.heappush(q,(0,start))
    distance[start] = 0
    while q: #q가 비있지 않다면
        #가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist,now = heapq.heappop(q)
        #현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist :
            continue
        #현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드듥을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q,(cost,i[0]))

dijkstra(start)

for i in range(1,n+1):
    #도달할 수 없는 경우, 무한(INFINTY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else :
        print(distance[i])

개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)로 이전보다 훨씬 빠르다.

플로이드 워셜 알고리즘

모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구하는 알고리즘

다익스트라와 플로이드 워셔

  • 다익스트라는 한 지점에서 다른 특정 지점까지 최단 경로를 구했지만 플로이드 워셜은 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 구한다.
  • 플로이드 워셜 알고리즘도 단계마다 거쳐가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다익스트라와 다르다.
  • 다익스트라는 그리디 알고리즘인데, 플로이드 워셜은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있다.

플로이드 워셔

  • 플로이드 워셜의 시간 복잡도는 O(N³)이다.
  • 플로이드 워셜의 점화식
    • D𝑎𝚋 = min(D𝑎𝚋 , D𝑎𝚔 + D𝚔𝚋 )
    • a에서 b로 가는 최소 비용과 a에서 k를 거쳐 b로 가는 비용을 비교하여 더 작은 값으로 갱신
  • 플로이드 워셜 알고리즘은 그래프와 표를 그려가며 따로 연습해보는 것을 추천한다.
INF = int(1e9)

#노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트를 만들고 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

#자기 자신에서 자기 자시능로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1,n+1):
    for b in range(1,n+1):
        if a==b:
            graph[a][b] = 0

#각 간선에 대한 정보를 입력받아 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a,b,c = map(int,input().split())
    graph[a][b] = c
    #점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
    for k in range(1,n+1):
        for a in range(1,n+1):
            for b in range(1,n+1):
                graph[a][b] = min(graph[a][b],graph[a][k]+graph[k][b])

#수행된 결과를 출력
for a in range(1,n+1):
    for b in range(1,n+1):
        #도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY",end = " ")
        #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else :
            print(graph[a][b], end = " ")
    print()

문제 9-2 미래도시

문제

그래프가 그려졌을 때 1에서 시작해서 k를 들렸다 x를 도착하는 최소의 경로를 구하시오

노드와 노드간의 거리는 무조건 1이다.

INF = int(1e9)

#노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n,m = map(int,input().split())

    
# 2차원 리스트를 만들고 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

#자기 자신에서 자기 자시능로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1,n+1):
    for b in range(1,n+1):
        if a==b:
            graph[a][b] = 0
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a,b = map(int,input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1
x,k = map(int,input().split())
for k in range(1,n+1):
        for a in range(1,n+1):
            for b in range(1,n+1):
                if a==b :
                    continue
                elif graph[a][b] == 1:
                    continue
                else:
                    graph[a][b] = min(graph[a][b],graph[a][k]+graph[k][b])
                    graph[b][a] = graph[a][b]

if graph[1][k] == INF or graph[k][x] == INF :
    print("-1",end = " ")
else :
    print(graph[1][k]+graph[k][x], end = " ")

문제 9-3 전보

N개의 도시가 있을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇개이며 도시들이 모두 메세지를 받는데까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하시오

도시 x에서 y로 보내려면 설치된 연결 통로로 보내야한다. x에서 y로 향하는 통로는 있지만 y에서x로 향하는 통로가 없다면 y는 x로 메세지를 보낼 수 없다. 통로를 지날때는 일정 시간이 소요된다.

import heapq

INF = int(1e9)

n,m,c = map(int,input().split())
graph = [[] for i in range(n+1)]
distance = [INF]*(n+1)
for _ in range(m):
    a,b,d = map(int,input().split())
    graph[a].append((b,d))

def dijkstra(start):
    q = []
    heapq.heappush(q,(0,start))
    while q:
        dist , now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist :
            continue
        for i in graph[now]:

            if distance[i[0]] > (dist +i[1]) :
                distance[i[0]] = dist +i[1]
                heapq.heappush(q,(distance[i[0]],now))

dijkstra(c)
total = []
for i in range(1,n+1):
    if distance[i] != INF:
        total.append(distance[i])
if len(distance) == 0:
    print("no")
else : print(len(total),max(total))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

알고리즘 책 - 이것이 코딩 테스트다

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